【sin cos tan】三角関数って結局何なの?その初歩の初歩

mymemineyou

三角関数というのは直角三角形の各辺の比の関係を表した関数です。

何で直角三角形に着目するのか。
一つは、直角三角形の組み合わせで全ての三角形を表現することができるからです。三角形の代表選手ということです。
2つ目に、斜めの線について数学的に考察したい場合に直角三角形が便利だから。この場合、結果的に直角三角形に見えるから三角形として考察しているだけです。

斜めの線と聞くと使い道があまりなさそうに感じるかもしれませんが、実際は応用範囲が広く直角で構成されているもの以外全てに応用できるといっても過言ではありません。

で、直角三角形がどう便利なのか。
斜めの線というくらいですから主役は斜辺です。
では縦と横は何なのか。斜辺に関する情報です。


https://matome.naver.jp/odai/2139446093122980001/2139447506031988103

上のグラフを御覧ください。
この場合、原点から点Aに向かう線dが斜辺です。斜辺が主役です。縦線と横線は脇役なので薄い色で表現してます。
縦線と横線は、斜線を縦と横に換算するとそれぞれいくつとなるかを表しています。
昔のRPG(ドラクエ3とか)を思い出して下さい。主人公を動かすには上・下・左・右からなる十字キーを使いますね。斜め移動なんてハイカラなものは当然出来ない前提ですよ。(分からない人は、パソコンで文章を打っている時に修正か何かをしようとして矢印ボタンで「|」の形のカーソルを移動させる様子をイメージしてください。)
右斜めに移動したい。そんな時は右と上にそれぞれ移動しますね。つまりそういうことです。斜めという情報を分解して縦と横に置き換えるのです。

縦と横という情報に置き換えられるのは斜線だけではありません。三角関数を使えば曲線や丸など二次元の世界のすべてが縦と横に変換できます。
何かの動き等を縦と横に変換したい時には総じて三角関数が使えるということです。


https://matome.naver.jp/odai/2139446093122980001/2139451547752885903
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円運動の一例。星の動きの説明とか丸いレーダーとかで似たようなものを見たことあると思います。

https://matome.naver.jp/odai/2139446093122980001/2139451608253890303
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上のgifアニメの斜線に縦線と横線を加えて直角三角形にすると…

円の例。
薄い縦と横の線に注目すれば、斜辺(の点C)の動きである円が縦と横で変換可能なのが分かります。
これを応用すれば曲線を描くことも可能になります。

縦と横に分解することで斜辺の傾き具合を表すこともできます。
微分を学べば分かりますが、数学では斜線のみならずあらゆる線を表現するために傾き具合を利用するので常に重要な概念になってきます。

これらの画像の三角形のy軸の長さ(三角形の高さ)がサイン(sin)です。高さ/斜辺です。
x軸(三角形の底辺)の長さがコサイン(cos)です。底辺/斜辺です。
タンジェント(tan)は三角形の縦横の比です。高さ/底辺です。

https://matome.naver.jp/odai/2139446093122980001
2014年03月11日